최소항(Minterm)과 최대항(Maxterm) 전개

기본 개념 정리

디지털 논리식은 AND(·), OR(+), NOT(') 연산을 이용해 표현된다.
이를 일정한 규칙에 따라 표준화한 형태가 바로 Minterm 과 Maxterm 전개이다.

Minterm (소항, 최소항)

• 각 변수의 가능한 조합에 대해 하나의 항(term) 이 대응된다.
• Minterm은 모든 변수들이 AND 연산으로 묶인 형태이며,
  각 변수는 참이면 그대로, 거짓이면 NOT 형태로 나타난다.
• 예를 들어, 변수 A, B에 대해 가능한 Minterm은 다음과 같다.

A	B	Minterm	표기
0	0	A′B′	m₀
0	1	A′B	m₁
1	0	AB′	m₂
1	1	AB	m₃

즉, Minterm은 출력이 1인 조합을 OR로 묶은 형태이다.
이를 Sum of Products (SOP) 형태라고 한다.

f(A,B)=∑m(1,3)=A′B+AB

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Maxterm (대항, 최대항)

• Maxterm은 모든 변수들이 OR 연산으로 묶인 형태이며,
  각 변수는 참이면 NOT, 거짓이면 그대로 나타난다.
• 즉, Minterm의 논리적 반대(Complement)라고 보면 된다.

A	B	Maxterm	표기
0	0	(A + B)	M₀
0	1	(A + B′)	M₁
1	0	(A′ + B)	M₂
1	1	(A′ + B′)	M₃

Maxterm은 출력이 0인 조합을 AND로 묶은 형태이다.
이를 Product of Sums (POS) 형태라고 한다.

f(A,B)=∏M(0,2)=(A+B)(A′+B)

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관계 정리

Minterm과 Maxterm은 서로 보수 관계에 있다.

mi​=Mi​​,Mi​=mi​​​​

즉, Minterm은 함수가 1일 때의 입력 조합을 나타내고,
Maxterm은 함수가 0일 때의 입력 조합을 나타낸다.

이 관계를 통해 하나를 알면 다른 하나를 쉽게 구할 수 있다.

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예시

다음 진리표가 주어졌다고 하자.

A	B	C	f
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

• 출력이 1인 행: 1, 3, 5, 6, 7
  → Minterm 전개:f(A,B,C)=∑m(1,3,5,6,7)
  또는 전개식으로 쓰면
  f=A′B′C+A′BC+AB′C+ABC′+ABC
  
  
• 출력이 0인 행: 0, 2, 4
  → Maxterm 전개:f(A,B,C)=∏M(0,2,4)
  즉,
  f=(A+B+C)(A+B′+C)(A′+B+C)
  
  

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실제 논리회로로의 연결

이 두 전개는 논리회로를 설계할 때 직접적인 구조를 제공한다.

• SOP(Minterm) → AND 게이트 → OR 게이트로 구성
• POS(Maxterm) → OR 게이트 → AND 게이트로 구성

즉,
Minterm은 1을 만드는 회로(Sum of Products) 에,
Maxterm은 0을 막는 회로(Product of Sums) 에 해당한다.

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핵심 정리 요약

구분	Minterm	Maxterm
연산 구조	AND → OR	OR → AND
변수 표현	1이면 그대로, 0이면 NOT	1이면 NOT, 0이면 그대로
표기 방식	m₀, m₁, m₂, …	M₀, M₁, M₂, …
전개 형태	Sum of Products (SOP)	Product of Sums (POS)
참조 기준	f = 1인 경우	f = 0인 경우

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정리의 의의

Minterm과 Maxterm 전개는 논리식을 체계적으로 분석하고 회로로 변환하기 위한 표준 표현법이다.
이를 통해 진리표 → 논리식 → 회로도 변환이 가능하며,
K-map(카르노 맵) 최소화 과정에서도 이 둘의 개념이 필수적으로 사용된다.